Hình học liệt kê

Nhiều ứng dụng toán học quan trọng của đối xứng gương thuộc về một nhánh của toán học gọi là hình học liệt kê. Trong hình học liệt kê, người ta quan tâm tới việc đếm (liệt kê) số nghiệm của các bài toán hình học, thường bằng các kĩ thuật của hình học đại số. Một trong những bài toán sớm nhất của hình học liệt kê là bài toán Apollonius, mang tên nhà toán học Hy Lạp đề xuất nó vào khoảng năm 200 trước Công nguyên. Apollonius đặt câu hỏi, có bao nhiêu đường tròn trong một mặt phẳng tiếp xúc với ba đường tròn cho trước. Trong trường hợp tổng quát, lời giải cho bài toán này là có 8 đường tròn như thế.[38]

Các bài toán liệt kê trong toán học thường liên quan tới một lớp các đối tượng hình học được gọi là các đa tạp đại số xác định bằng tập hợp nghiệm của các đa thức. Chẳng hạn, khối Clebsch được định nghĩa là một đa thức bậc 3 với 4 biến (ẩn). Một kết quả nổi tiếng của các nhà toán học thế kỉ 19 Arthur Cayley và George Salmon khẳng định rằng có đúng 27 đường thẳng nằm hoàn toàn trong một mặt như vậy.[39]

Tổng quát hóa bài toán này, người ta có thể hỏi có thể vẽ được bao nhiêu đường trong một đa tạp Calabi-Yau bậc 5, định nghĩa bằng một đa thức bậc 5. Bài toán này được nhà toán học người Đức thế kỉ 19 Hermann Schubert giải, ông thấy rằng có đúng 2875 đường như vậy. Năm 1986, nhà hình học Sheldon Katz chứng minh rằng số đường cong, như các đường tròn, định nghĩa bằng các đa thức bậc hai và nằm hoàn toàn trong đa tạp bậc 4 là 609.250.[38]

Tính tới năm 1991, hầu hết các bài toán cổ điển của hình học liệt kê đã có lời giải và sự quan tâm trong lĩnh vực này suy giảm dần. Theo nhà toán học Mark Gross, "Khi các bài toán cũ đã được giải, người ta trở lại kiểm tra các số Schubert bằng các kĩ thuật hiện đại, nhưng nó đang trở nên khá là nhạt nhẽo."[40] Lĩnh vực này được tiếp lại sinh lực vào tháng 5 năm 1991 khi các nhà vật lý Philip Candelas, Xenia de la Ossa, Paul Green, và Linda Parks chỉ ra rằng có thể dùng đối xứng gương để đếm số đường cong bậc 3 trong một đa tạp Calabi–Yau bậc 5. Candelas và cộng sự thấy rằng các đa tạp 6 chiều này có thể chứa chính xác 317.206.375 đường cong bậc 3.[40]

Bên cạnh ứng dụng trên, nhóm của Candelas cũng thu được một số các kết quả tổng quát hơn để đếm số đường cong hữu tỉ vượt ra ngoài kết quả của giới toán học đương thời.[41] Mặc dù các phương pháp này vận dụng trực giác vật lý, các nhà toán học đã tiếp bước và chứng minh chặt chẽ một số tiên đoán của đối xứng gương, bao gồm tất cả những tiên đoán liệt kê.[35]

Vật lý lý thuyết

Bên cạnh ứng dụng trong hình học liệt kê, đối xứng gương là một công cụ tính toán cơ bản trong lý thuyết dây. Trong lý thuyết dây tôpô mô hình A, các đại lượng vật lý đáng chú ý được biểu diễn dưới dạng vô hạn các con số gọi là các bất biến Gromov–Witten vốn đặc biệt khó tính toán. Trong mô hình B, các phép tính có thể giản lược về các tích phân cổ điển dễ tính hơn nhiều.[42] Bằng cách áp dụng đối xứng gương, các nhà lý thuyết có thể diễn dịch các tính toán phức tạp trong mô hình A vào dạng tương đương nhưng dễ tính hơn trong mô hình B. Những tính toán này sau đó được dùng để xác định xác suất của những quá trình vật lý khác nhau trong lý thuyết dây. Đối xứng gương có thể kết hợp với các cặp đối ngẫu khác để biến đổi tính toán trong một lý thuyết sang một lý thuyết khác tương đương, mà nếu thiếu chúng không thể nào thực hiện được.[43]

Ngoài lĩnh vực lý thuyết dây, đối xứng gương cũng tìm thấy ứng dụng trong việc tìm hiểu những khía cạnh của lý thuyết trường lượng tử, hình thức luận mô tả các hạt cơ bản. Chẳng hạn, các lý thuyết trường chuẩn (gauge theories) là một lớp các lý thuyết vật lý đối xứng cao xuất hiện trong mô hình chuẩn của vật lý hạt và các phần khác của vật lý lý thuyết. Một vài lý thuyết trường chuẩn không nằm trong mô hình chuẩn, nhưng nó nảy sinh từ những dây lan truyền trong một phông miền gần suy biến. Đối xứng gương là một công cụ tính toán hữu dụng cho những lý thuyết như thế.[44] Cụ thể, đối xứng gương có thể dùng để tính toán một lý thuyết trường chuẩn trong không thời gian 4 chiều mà Nathan Seiberg và Edward Witten nghiên cứu, và cũng quen thuộc trong toán học theo các bất biến Donaldson.[45] Cũng có một phép tổng quát hóa của đối xứng gương gọi là đối xứng gương 3D liên hệ các cặp lý thuyết trường lượng tử trong ba chiều không thời gian.[46]